1. 函数

1.1. 函数的概念以及常见函数

1.1.1. 函数

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.1（函数）|iconVisibility:hidden]

设有两个变量 $x$ 与 $y$ ， $D$ 是一个非空的实数集，若存在一个对应规则 $f$ ，使得对于每一个 $x \in D$ 按照这个规则，有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的一个函数， $x$ 称为自变量， D称为函数 f 的定义域，y称为因变量。函数 $f$ 在 $x \in D$ 对应的 $y = f(x)$ ， $x \in D$ 的函数值所成的集合，常记为 $R_f$ ， $R_f = { y | y = f(x), x \in D}$ 。

1.1.2. 反函数

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.2（反函数）|iconVisibility:hidden]

设函数 $y = f(x)$ 的定义域是 $D$ ，值域是 $R_f$ ，如果对于 $R_f$ 内的每一个 $y$ ，由 $y = f(x)$ 可以确定唯一的 $x \in D$ 。这样在 $R_f$ 上定义了一个函数，称为 $y = f(x)$ 的反函数，记为 $x= f^-1(y)$ 或 $x = \varphi(y)$ ， $y \in R_f$

由反函数的定义，有 $y \equiv f(f^-1(y))$ ， $y \in R_f$ ； $x \equiv f(f^-1(x))$ ， $x \in D$ 。有时，也将 $y = f(x)$ 的反函数 $x = f^-1 (y)$ 写成 $y = f^-1 (x)$ 。在同一坐标系中， $y = f(x)$ 与它的反函数 $x = f^-1 (y)$ 的图形是一致的，而 $y = f(x)$ 与它的反函数 $y = f^-1 (x)$ 的图形则关于直线 $y = x$ 对称。

1.1.3. 复合函数

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.3（复合函数）|iconVisibility:hidden]

设函数 $y = f(u)$ 的定义域是 $D$ ，函数 $u = \varphi(x)$ 的定义域是 $D_\varphi$ ，值域是 $R_f$ 。

1.1.4. 基本初等函数

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.4（基本初等函数）|iconVisibility:hidden]

常值函数： $C$ （ $C$ 为常数）， $x \in R$

幂函数： $x^ a$ （ $a$ 为常数）

指数函数： $a^x$ （常数 a>0，a≠1）， $x \in R$

对数函数： $log_ax$ （常数 a>0，a≠1）， $x \in (0, +\infty)$

三角函数：

$sin(x)$ ， $x \in (-\infty , +\infty)$

$cos(x)$ ， $x \in (-\infty , +\infty)$

$tan(x)$ ， $x \in (k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ ， $k \in Z$

$cot(x)$ ， $x \in (k\pi, (k+1)\pi)$ ， $k \in Z$

反三角函数：

$arcsin(x)$ ， $x \in [-1 , 1]$

$arccos(x)$ ， $x \in [-1 , 1]$

$arctan(x)$ ， $x \in R$

$arccot(x)$ ， $x \in R$

// TODO

1.1.5. 初等函数

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.5（初等函数）|iconVisibility:hidden] 由基本初等函数经有限次加减陈处及复合而成并用一个式子表示的函数称为初等函数。

// TODO

1.2. 函数的四种特性

1.2.1. 有界性

有界性的定义

[!TIP|label: ❑ 定义1.1.6（初等函数）|iconVisibility:hidden]

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，数集 $X \subseteq D$ 。

① 如果存在数 $M_1$ ，使得 $f(x) \leq M_1$ ，对任一 $x \subseteq X$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 有上界，而 $M_1$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个上界。

② 如果存在数 $M_2$ ，使得 $f(x) \geq M_1$ ，对任一 $x \subseteq X$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 有下界，而 $M_2$ 称为函数 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界。

③ 如果存在正数 $M$ ，使得 $| \ f(x) \ | \leq M$ ，对任一 $x \subseteq X$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界，如果这样的 $M$ 不存在，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界；或者说，如果对于任何正数 $M$ ，总存在 $x_0 \subseteq X$ ，使得 $| \ f(x) \ | \geq M$ ，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无界。

有界性的判定

[!TIP|label: ❑ 定理1.1.1|iconVisibility:hidden] 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。

上面定理中的闭区间 $[a, b]$ 如果改为开区间 $(a, b)$ ，结论不成立。比如如函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 虽然在区间 $(a, b)$ 上连续，但在该区间上无界。

[!TIP|label: ❑ 定理1.1.2|iconVisibility:hidden] 若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，且 $\lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x)$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow b^-} f(x)$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界

上面定理可以推广到无穷区间 $(-\infty, a)$ ， $( a, \infty)$ ， $(-\infty, +\infty)$ ，

[!TIP|label: ❑ 定理1.1.3|iconVisibility:hidden]

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[!TIP|label: ❑ 定理1.1.4|iconVisibility:hidden]

3

[!TIP|label: ❑ 定理1.1.5|iconVisibility:hidden]

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1.2.2. 单调性

1.2.3. 奇偶性

1.2.4. 周期性

2. 极限

2.1. 极限的概念

2.1.1. 数列的极限

2.1.2. 函数的极限

2.2. 极限的性质

2.2.1. 有界性

2.2.2. 保号性

2.2.3. 极限值与无穷小之间的关系

2.3. 极限的存在准则

2.3.1. 夹逼准则

2.3.2. 单调有界准则

2.4. 无穷小量

2.4.1. 无穷小量的概念

2.4.2. 无穷小的比较

2.4.3. 无穷小的性质

2.5. 无穷大量

2.5.1. 无穷大量的概念

2.5.2. 无穷大的比较

2.5.3. 无穷大量与无界变量的关系

2.6. 求极限的常用方法

2.6.1. 利用有理运算法则求极限

2.6.2. 利用基本极限求极限

2.6.3. 利用等价无穷小代换求极限

2.6.4. 利用洛必达法则求极限

2.6.5. 利用泰勒公式求极限

2.6.6. 利用定积分的定义求极限

2.6.7. 利用夹逼准则求极限

2.6.8. 利用单调有界准则求极限

2.7. 求极限的实战策略

求函数的极限主要是七种类型不定式的极限，即 $\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$ 、 $0 * \infty$ 、 $\infty - \infty$ 、 $1 ^ \infty$ 、 $\infty ^ 0$ 、 $0 ^ 0$ 。

2.7.1. 求函数的极限

1. $\frac{0}{0}$ 型的极限

常用方法有四种👇

1）利用恒等变形约去分子、分母中极限为零的因子，然后用极限的有理运算法则；

2）用洛必达法则；

3）用等价无穷小替换；

4）用泰勒公式。

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限

常用方法有两种👇

1）洛必达法则；

2）消去分子分母中的 $\infty$ 因子或分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大。

3. $\infty - \infty$ 型的极限

常用方法有三种👇

1）通分化为 $\frac{0}{0}$ （适用于分式差）；

2）根式有理化（适用于根式差）；

3）等价代换、变量代换或泰勒公式。

4. $0 * \infty$ 型的极限

常用方法是化为 $\frac{0}{0}$ 型或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

5. $1 ^ \infty$ 型的极限